In der zitierten Arbeit bringt Laue die mathematische
Grundlage der Statistik der Strahlung in eine Form, die an
Prägnanz und Schönheit nichts zu wünschen übrigläßt. Was
aber die Anwendung jener Grundlage auf die Strahlungs-
theorie anbelangt, so scheint er mir einem bedenklichen Irr-
tume zum Opfer gefallen zu sein, der dringend Berichtigung
fordert. Wenn Laues Behauptung, daß die Koeffizienten
der Fourierentwicklung der bei natürlicher Strahlung auf-
tretenden örtlichen Schwingung nicht voneinander statistisch
unabhängig zu sein brauchten, berechtigt wäre, böte sich
wirklich ein höchst aussichtsreicher Weg zur Überwindung
der Schwierigkeiten dar, welche in der theoretischen Un-
verdaulichkeit aller Gesetze besteht, in denen das Planck-
sche ,,h“ eine Rolle spielt. Dies war eben der Grund, der
mich vor fünf Jahren veranlaßte, in einer mit L. Hopf zu-
sammen publizierten Arbeit diese Frage näher zu prüfen.

Das Resultat jener in ihrer Durchführung nicht ganz
einwandfreien Arbeit, wird von Laue als richtige Konsequenz
der zugrunde gelegten Voraussetzungen anerkannt. Aber
Laue bestreitet die Zulässigkeit der Grundvoraussetzung,
die sich so formulieren läßt:

Wenn ich dadurch eine vollkommen ungeordnete Strah-
lung (statistisch unabhängige Fourierkoeffizienten) erhalte
daß ich unendlich viele vollkommen gegebene, ganz mitein-
ander übereinstimmende Strahlungen derart superponiere, daß
bei dieser Superposition die Gesamtphasen dieser superponierten
Strahlungen zufällig gewählt werden, so muß die natürliche
Strahlung erst recht statistisch ungeordnet sein.

Diese Grundvoraussetzung schien mir damals evident.
Der Umstand aber, daß sie von einem so erfahrenen Fachmann,

wie Laue, nicht geteilt wird, beweist das Gegenteil. Ich will
deshalb im folgenden einen Beweis geben, der von einer der-
artigen Voraussetzung frei ist und -- wie ich hoffe -- un-
widerleglich dartut, daß unsere Undulationstheorie die sta-
tistische Unabhängigkeit der Fourierkoeffizienten unbedingt
fordert. Bevor ich diesen Beweis beginne, will ich aber zeigen,
warum die in den Teilen II und III der Laueschen Abhand-
lung gegebene Betrachtung nach meiner Ansicht nicht be-
weisend ist.

Laue betrachtet eine Strahlung, die durch eine große
Anzahl unregelmäßig über eine Schicht von der Dicke c ver-
teilter Resonatoren senkrecht zu dieser Schicht emittiert wird.
Im Teile II seiner Abhandlung nimmt er an, daß alle diese
Resonatoren gleichzeitig und nach demselben Gesetze schwin-
gen; im Teile III, daß die Schwingungen aller Resonatoren
durch dasselbe, als gegeben zu denkende statistische Gesetz
beherrscht seien. In beiden Fällen ergibt sich nicht die sta-
tistische Unabhängigkeit der Fourierkoeffizienten der Ent-
wicklung für die resultierende Strahlung. Hieraus darf aber
nach meiner Meinung keineswegs die Zulässigkeit der Hypo-
these gefolgert werden, daß auch bei der natürlichen Strahlung
jene Unabhängigkeit nicht vorhanden sei. Denn es ist doch
gar nicht gesagt, daß der Grad von Unordnung, welchen jene
ungeordnete Verteilung der Resonatoren über die Schicht
von der Dicke c mit sich bringt, derselbe sei wie bei der
natürlichen Strahlung.

Dieser Verdacht erhebt sich um so dringender, als nach
Laues rechnerischen Ergebnissen der Grad der statistischen
Abhängigkeit zweier durch die Indizes p und p' charakteri-
sierten Glieder der Entwicklung für die resultierende Strah-
lung wesentlich durch den Wert

bedingt werde, d. h. durch eine von der Schichtdicke abhängige
Größe, während doch eine derartige statistische Abhängigkeit
bei der natürlichen Strahlung -- falls eine solche vorhanden
wäre -- nichts zu tun haben dürfte mit der besonderen Er-
zeugungsart der betrachteten Strahlung.

Nach meiner Ansicht ist daher keiner der von Laue
betrachteten Fälle der natürlichen Strahlung bezüglichen

Unordnung äquivalent, so daß aus seinen Ergebnissen über
die natürliche Strahlung nichts gefolgert werden kann. Ich
halte vielmehr meine frühere Behauptung aufrecht und
suche dieselbe im folgenden durch einen neuen Beweis zu
stützen, indem ich mich der von Laue in seiner Arbeit dar-
gelegten Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung bediene.

Jede der betrachteten Teilstrahlungen sei durch eine
Fouriersche Entwicklung von der Form

(1)

für das Zeitintervall 0 bis T dargestellt, wobei die Koeffizienten
dem Wahrscheinlichkeitsgesetz

(2)

genügen sollen, welches Gesetz für jedes (), d. h. für jede der
betrachteten Teilstrahlungen ein besonderes sein kann. Das
Gesetz sei ferner ein solches, daß

(3)

Die resultierende Strahlung ist für das Zeitintervall 0 bis T
durch die Entwicklung

(4)

gegeben, woraus die Gültigkeit der Beziehungen

(5)

hervorgeht. Welches statistische Gesetz folgt für die Fourier-
koeffizienten A₁...B_z?

Aus einer Betrachtung, die der im Teile I der Laueschen
Arbeit durchgeführten ganz analog ist, findet man, daß das
gesuchte statistische Gesetz das folgende ist:

(6)

Hieraus ersieht man, daß durch Superposition unendlich vieler
Teilstrahlungen die statistische Unabhängigkeit der Fourier-
Koeffizienten noch keineswegs garantiert wird. Wohl aber
gestattet das Gesetz (6) die Frage nach der statistischen Un-
abhängigkeit der Fourierkoeffizienten auf eine einfachere Frage
zu reduzieren. Jene statistische Unabhängigkeit wird nämlich
dann und nur dann erfüllt sein, wenn im Exponenten der
Exponentialfunktion nur die Quadrate der A_m und B_m, aber
keine Produkte dieser Größen auftreten; d. h. es muß sein:

(7)

Es ist ferner wegen (3) und (5) klar, daß im Falle sta-
tistischer Unabhängigkeit die Beziehungen

(7a)

bestehen müssen. Da die Zahl der Bedingungen (7a) gleich
ist der Zahl der Bedingungen (7), und alle Bedingungen (7a)
voneinander unabhängig sind, so folgt, daß im Falle der Gültig-
keit von (6) die Bedingungen (7a) hinreichend sind für die
statistische Unabhängigkeit der Fourierkoeffizienten.

Wir gelangen daher zu folgendem vorläufigen Ergebnis:
Da wir von der natürlichen Strahlung annehmen müssen, daß
ihre statistischen Eigenschaften durch Superposition von in-
kohärenten Teilstrahlungen nicht geändert werden, so sind
die Gleichungen (7a) bei der natürlichen Strahlung hinreichende
Bedingungen für die statistische Unabhängigkeit der Fourier-
koeffizienten.

Es sei F(t) eine Komponente des Strahlungsvektors sta-
tionärer natürlicher Strahlung, gegeben für unendlich lange
Zeit. T sei eine gegen die Schwingungsdauer der langwelligsten

in der Strahlung auftretenden Lichtart große Zeitdauer. Zwischen
den Zeiten t₀ und t₀ + T sei F(t) dargestellt durch die Fourier-
reihe

(4a)

Es ist klar, daß die zu F(t) gehörigen Fourierkoeffizienten
A_n, B_n von der Wahl der Epoche t₀ abhängen werden. Indem
wir die Entwicklung für sehr viele, zufällig gewählte t₀ aus-
geführt denken, erlangen wir ein statistisches Material zur
Ableitung statistischer Eigenschaften der Koeffizienten A_n, B_n,
welche wir bei der natürlichen Strahlung notwendig fordern
müssen.

Um diese Eigenschaften abzuleiten, entwickeln wir F(t)
in eine Fourierreihe zwischen den Zeiten 0 und , wobei
eine gegenüber T sehr große Zeitdauer sei. Für dies Zeit-
intervall sei

(8)

Wählen wir t₀ zwischen t = 0 und t = -T, so können
die Koeffizienten A_n und B_n durch t₀ und die Koeffizienten
und der Entwicklung (8) ausgedrückt werden; man er-
hält zunächst

(9)

Führt man die Integration aus, so erhält man, indem man
in bekannter Weise Glieder mit dem Faktor gegen
solche mit dem Faktor vernachlässigt:

(10)

wobei

gesetzt ist. Die Formeln (10) gelten nur für Werte von t₀
zwischen t₀ = 0 und t₀ = - T, weil die Entwicklung ge-
mäß (8) nur für das Zeitintervall 0 - gilt. Wir erlauben
uns jedoch, die Formel (8) für das Intervall 0 - ( + T) an-
zuwenden. Damit ersetzen wir zwischen den Zeitwerten
und + T die Funktion F(t) durch die Werte von F(t) zwischen
den Zeiten 0 und T. Durch dieses Vorgehen werden im fol-
genden unsere Mittelwertbetrachtungen gefälscht, aber nur
relativ unendlich wenig, weil das Zeitintervall T gegen un-
endlich klein ist. Von dieser Erwägung ausgehend, werden
wir die Gleichungen (10) so anwenden, wie wenn sie im ganzen
Intervall 0 < t₀ < gelten würden.

Wir bilden nun mit Hilfe von (10) den Mittelwert A_m A_n,
d. h. die Größe

Dabei tritt das Integral

auf. Dieses verschwindet wegen der Ganzzahligkeit von und ,
wenn , und hat für = den Wert (-1)^m-n.
Mit Rücksicht darauf ergibt die erste der Gleichungen (10)

(11)

A priori ist klar, daß eine statistische Abhängigkeit nur
zwischen Strahlungskomponenten von sehr nahe gleicher
Frequenz zu erwarten ist. m und n gehören also demselben
engen Spektralbereich an, ebenso jene Werte von , welche
zu unserer Summe merklich beitragen.

In (11) ist der Bruch auf der rechten Seite eine wegen
der Kleinheit von T/ mit langsam veränderliche Größe.
Deshalb kann bezüglich der Größe ² über viele aufe nander
folgende Glieder ohne merkbaren Fehler gemittelt werden,
und es wird jener Mittelwert ² als Konstante aus der Summe
herausgesetzt werden können, da die Summation überhaupt
nur über einen engen Spektralbereich zu erstrecken ist. Die
über den Bruch erstreckte Summe kann dann noch in ein
Integral verwandelt werden, so daß man erhält:

(12)

Das Integral kann ohne merklichen Fehler zwischen -
und + genommen werden, statt zwischen der durch den
vorerwähnten Spektralbereich bestimmten Grenzen.

Dieses Integral hat für m = n den Wert , verschwindet
aber stets¹), wenn mn (m und n sind ganze Zahlen). Damit
ist zunächst das Verschwinden von A_m A_n (für mn) bewiesen;
der Beweis für das Verschwinden von B_m B_n (für mn) und
A_m B_n ist analog zu führen. Aus dem Verschwinden dieser
Mittelwerte folgt nach §1 die behauptete statistische Un-
abhängigkeit der Fourierkoeffizienten.

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1) Das Integral ist nämlich gleich

Jedes der letzteren Integrale ist gleich

Bemerkung zur Korrektur: Statt bei der Auswertung von (11) über
viele aufeinanderfolgende Summenglieder zu mitteln, kann man auch un-
endlich viele, voneinander unabhängige Entwicklungen (8) zugrunde legen
und über diese mitteln. Nimmt man an (11) jene Mittelwertbildung vor,
so tritt der dementsprechend verstandene Mittelwert ² vor das Summen-
zeichen. Das Endresultat bleibt natürlich dasselbe.