In einer kürzlich erschienenen Abhandlung¹) hat Hr. Min-
kowski einen Ausdruck für die auf beliebig bewegte Körper
wirkenden ponderomotorischen Kräfte elektromagnetischen Ur-
sprunges angegeben. Spezialisiert man die Minkowskischen
Ausdrücke auf ruhende, isotrope und homogene Körper, so
erhält man für die X-Komponente der auf die Volumeneinheit
wirkenden Kraft:

(1)

wobei die elektrische Dichte, den elektrischen Leitungsstrom,
G die elektrische Feldstärke, B die magnetische Induktion be-
deuten. Dieser Ausdruck scheint uns aus folgenden Gründen mit
dem elektronentheoretischen Bild nicht in Einklang zu stehen:
Während nämlich ein von einem elektrischen Strom (Leitungs-
strom) durchflossener Körper im Magnetfeld eine Kraft er-
leidet, wäre dies nach Gleichung (1) nicht der Fall, wenn der
im Magnetfeld befindliche Körper statt von einem Leitungs-
strom von einem Polarisationsstrom durchsetzt wird.
Nach Minkowski besteht also hier ein prinzipieller Unter-
schied zwischen einem Verschiebungsstrom und einem Leitungs-
strom derart, daß ein Leiter nicht betrachtet werden kann
als ein Dielektrikum von unendlich großer Dielektrizitäts-
konstante.

Angesichts dieser Sachlage schien es uns von Interesse
zu sein, die ponderomotorischen Kräfte für beliebige magneti-
sierbare Körper auf elektronentheoretischem Wege abzuleiten.
Wir geben im folgenden eine solche Ableitung, wobei wir uns
aber auf ruhende Körper beschränken.

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1) H. Minkowski, Gött. Nachr. 1908. p. 45.

Wir wollen uns bei der Ableitung konsequent auf den
Standpunkt der Elektronentheorie stellen¹); wir setzen also:

(2)

(3)

wobei P den elektrischen, Q den magnetischen Polarisations-
vektor bedeutet. Die elektrische bzw. die magnetische Polari-
sation denken wir uns bestehend in räumlichen Verschie-
bungen von an Gleichgewichtslagen gebundenen, elektrischen
bzw. magnetischen Massenteilchen von Dipolen. Außerdem
nehmen wir noch das Vorhandensein von nicht an Dipole ge-
bundenen, beweglichen elektrischen Teilchen (Leitungselek-
tronen) an. In dem Raume zwischen den genannten Teilchen
mögen die Maxwellschen Gleichungen für den leeren Raum
gelten, und es seien, wie bei Lorentz, die Wechselwirkungen
zwischen Materie und elektromagnetischem Felde ausschlielich
durch diese Teilchen bedingt. Dementsprechend nehmen wir an,
daß die vom elektromagnetischen Felde auf das Volumenelement
der Materie ausgeübten Kräfte gleich sind der Resultierenden
der ponderomotorischen Kräfte, welche von diesem Felde auf
alle in dem betreffenden Volumenelement befindlichen elek-
trischen und magnetischen Elementarteilchen ausgeübt werden.
Unter Volumenelement der Materie verstehen wir stets einen
so großen Raum, daß er eine sehr große Zahl von elektrischen
und magnetischen Teilchen enthält. Die Grenzen eines be-
trachteten Volumenelementes muß man sich ferner stets so
genommen denken, daß die Grenzfläche keine elektrische bzw.
magnetische Dipole schneidet.

Wir berechnen zunächst diejenige auf einen elektrischen
Dipol wirkende Kraft, welche daher herrührt, daß die Feld-
stärke G an den Orten, an welchen sich die Elementarmassen
des Dipols befinden, nicht genau dieselbe ist. Bezeichnet man
----------

1) Der einfacheren Darstellung halber halten wir aber an der dualen
Behandlung der elektrischen und magnetischen Erscheinungen fest.

mit p den Vektor des Dipolmomentes, so erhält man fült die
X-Komponente der gesuchten Kraft den Ausdruck:

Denkt man sich den letzten Ausdruck für alle Dipole in der
Volumeneinheit gebildet und summiert, so erhält man unter
Berücksichtigung der Beziehung:

die Gleichung:

(4)

Wenn die algebraische Summe der positiven und negativen
Leitungselektronen nicht verschwindet, dann kommt zum Aus-
druck (4) noch ein Term hinzu, den wir nun berechnen wollen.
Die X-Komponente der auf ein Leitungselektron von der elek-
trischen Masse e wirkenden ponderomotorischen Kraft ist eG_x.
Summiert man über alle Leitungselektronen der Volumen-
einheit, so erhält man:

(5)

Denkt man sich die betrachtete in der Volumeneinheit befind-
liche Materie von einer Fläche umschlossen, welche keine
Dipole schneidet, so erhält man nach dem Gaussschen Satz
und nach der Definition des Verschiebungsvektors D:

so daß

(5a)

wird. Die X-Komponente der von der elektrischen Feldstärke
auf die Volumeneinheit der Materie ausgeübten Kraft ist daher
gleich:

(6)

Analog erhalten wir unter Berücksichtigung der Beziehung

für die X-Komponente der von der magnetischen Feldstärke
gelieferten Kraft:

(7)

Es ist zu bemerken, daß für die Herleitung der Aus-
drücke (6) und (7) keinerlei Voraussetzung gemacht werden
muß über die Beziehungen, welche die Feldstärken G und H
mit den Polarisationsvektoren P und Q verbinden.

Hat man es mit anisotropen Körpern zu tun, so liefern
die elektrische bzw. die magnetische Feldstärke nicht nur eine
Kraft, sondern auch Kräftepaare, welche sich auf die Materie
übertragen. Das gesuchte Drehmoment ergibt sich leicht für
die einzelnen Dipole und Summation über alle elektrischen
und magnetischen Dipole in der Volumeneinheit. Man erhält:

(8)

Die Formel (6) liefert diejenigen ponderomotorischen Kräfte,
welche bei elektrostatischen Problemen eine Rolle spielen.
Wir wollen diese Gleichung für den Fall, daß es sich um iso-
trope Körper handelt, so umformen, daß sie einen Vergleich
gestattet mit demjenigen Ausdrucke für die ponderomotorischen
Kräfte, wie er in der Elektrostatik angegeben wird. Setzen wir

so geht die Gleichung (6) über in:

Die ersten beiden Glieder dieses Ausdruckes sind identisch
mit den aus der Elektrostatik bekannten. Das dritte Glied
ist, wie man sieht, von einem Potential ableitbar. Handelt
es sich um Kräfte, die auf einen im Vakuum befindlichen
Körper wirken, so liefert das Glied bei Integration über den
Körper keinen Beitrag. handelt es sich aber um die pondero-
motorische Wirkung auf Flüssigkeiten, so wird der dem dritten
Glied entsprechende Anteil der Kraft bei Gleichgewicht durch
eine Druckverteilung in der Flüssigkeit kompensiert.

Wir gehen jetzt über zu demjenigen Anteile der pondero-
motorischen Kraft, welcher durch die Bewegungsgeschwindig-
keiten der Elementarladungen geliefert wird.

Wir gehen aus vom Biot-Savartschen Gesetz. Auf ein
stromdurchflossenes Volumenelement, welches sich in einem
magnetischen Felde befindet, wirkt erfahrungsgemäß pro Vo-
lumeneinheit die Kraft:

falls die betrachtete, stromdurchflossene Materie nicht magne-
tisch polarisierbar ist. Für das Innere von magnetisch polari-
sierbaren Körpern wurde, soviel uns bekannt ist, bis jetzt jene
Kraft gleich¹)

gesetzt, wobei B die magnetische Induktion bedeutet. Wir
wollen nun zeigen, daß auch im Falle, daß das stromdurch-
flossene Material magnetisch polarisierbar ist, die auf das strom-
durchflossene Volumenelement wirkende Kraft erhalten wird,
wenn man zu der durch die Gleichung (7) ausgedrückten Kraft
noch die Volumenkraft:

(9)

hinzufügt. Wir wollen dies zuerst an einem einfachen Bei-
spiel anschaulich machen. Der unendlich dünne im Querschnitt gezeichnete Streifen S
erstrecke sich senkrecht zur Papierebene nach beiden Seiten
ins Unendliche. Er bestehe aus
magnetisch polarisierbarem Mate-
rial und befinde sich in einem
homogenen Magnetfelde H_a, dessen
Richtung durch die Pfeile (vgl.
Figur) angedeutet ist. Wir fragen
nach der auf den Materialstreifen wirkenden Kraft, falls der-
selbe von einem Strome i durchflossen ist.

Die Erfahrung lehrt, daß diese Kraft von der magnetischen
Permeabilität des Leitermateriales unabhängig ist, und man
schloß daraus, daß es nicht die Feldstärke H, sondern die
magnetische Induktion B_i sein müsse, welche für die pondero-
----------

1) Vgl. z. B. auch M. Abraham, Theorie der Elektrizität 2. p. 319.
1905.

motorische Kraft maßgebend ist, denn im Innern des Streifens
ist die magnetische Induktion B_i gleich der außerhalb des
Streifens wirkenden Kraft H_a, unabhängig von dem Werte der
Permeabilität des Streifens, während die im Innern des Streifens
herrschende Kraft H_i bei gegebenem äußeren Felde von
abhängt. Dieser Schluß ist aber nicht stichhaltig, weil die
ins Auge gefaßte ponderomotorische Kraft nicht die einzige
ist, welche auf unseren Materialstreifen wirkt. Das äußere
Feld H_a induziert nämlich auf der Oberseite und Unterseite
des Materialstreifens magnetische Belegungen von der Dichte¹):
H_a , und zwar auf der Oberseite eine negative, auf der
Unterseite eine positive Belegung. Auf jede dieser Belegungen
wirkt eine von dem im Streifen fließenden Strom erzeugte Kraft
von der Stärke i 2 b pro Längeeinheit des Streifens²), welche
magnetische Kraft an der Oberseite und Unterseite verschieden
gerichtet ist. Die so resultierenden ponderomotorischen Kräfte
addieren sich, so daß wir die ponderomotorische Kraft erhalten:
H_a i. Diese Kraft scheint bis jetzt nicht berück-
sichtigt worden zu sein.

Die auf die Längeeinheit unseres Streifens im ganzen aus-
geübte Kraft ist nun gleich der Summe der soeben berech-
neten und der auf die Volumenelemente des Streifens infolge
des Stromdurchganges im Magnetfeld wirkenden Kraft R. Da
die gesamte auf die Längeeinheit wirkende ponderomotorische
Kraft erfahrungsgemäß gleich iH_a ist, so besteht die Gleichung:

oder

Man sieht also, daß für die Berechnung der ponderomotorischen
Kraft R, welche auf stromdurchflossene Volumenelemente
----------

1) Die Dichte ist nämlich gleich:

2) Statt dieser auf die Belegungen wirkenden Kräfte hätten wir
streng genommen nach den Resultaten des vorigen Paragraphen aller-
dings Volumenkräfte einführen müssen, was jedoch ohne Belang ist.

wirkt, nicht die Induktion B_i, sondern die Feldstärke H_i maß-
gebend ist.

Um jeden Zweifel zu beseitigen, wollen wir noch ein Bei-
spiel behandeln, aus welchem man ersieht, daß das Prinzip
der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung den von uns
gewählten Ansatz fordert.

Wir denken uns einen zylindrischen, von leerem Raum
umgebenen und vom Strom durchflossenen Leiter, welcher
sich längs der X-Achse eines Koordinatensystems beiderseits
ins Unendliche erstreckt. Die Materialkonstanten des Leiters,
sowie die im folgenden auftretenden Feldvektoren seien von x
unabhängig, aber Funktionen von y und z. Der Leiter sei
ein magnetisch harter Körper und besitze eine Magnetisierung
quer zur X-Achse. Wir nehmen an, daß ein äußeres Feld
auf den Leiter nicht wirkt, daß also die magnetische Kraft H
in großen Entfernungen vom Leiter verschwindet.

Es ist klar, daß auf den Leiter als Ganzes keine pondero-
motorische Kraft wirkt, denn es würde zu dieser Wirkung
keine Gegenwirkung angebbar sein. Wir wollen nun zeigen,
daß bei Wahl unseres Ansatzes jene Kraft in der Tat ver-
schwindet. Die gesamte auf die Längeeinheit unseres Leiters
in der Richtung der Z-Achse wirkende Kraft läßt sich dar-
stellen gemäß den Gleichungen (7) und (9) in der Form:

(10)

wobei df ein Flächenelement der Y Z-Ebene bedeutet. Wir
nehmen an, daß sämtliche in Betracht kommende Größen an
der Oberfläche des Leiters stetig sind. Wir behandeln zuerst
das erste Integral der Gleichung (10). Es ist:

Setzt man die rechte Seite dieser Gleichung in unser Integral
ein, so verschwinden bei Integration über die Y Z-Ebene die
beiden ersten Glieder, da die Kräfte im Unendlichen ver-
schwinden. Das dritte Glied kann unter Berücksichtigung:

umgeformt werden, so daß unser Integral die Form annimmt:

Nun ist:

Bei der Integration verschwinden aber die beiden Glieder
+ . Das Glied - H_y läßt sich umformen
mittels der Maxwellschen Gleichungen in:

so daß wir endlich die Gleichung (10) schreiben können:

Das letzte Integral wird Null, weil im Unendlichen die Kräfte
verschwinden.--

Nachdem wir so die Kraft festgestellt haben, welche auf
von einem Leitungsstrom durchflossene Materie wirkt, erhalten
wir die Kraft, die auf einen von einem Polarisationsstrom
durchsetzten Körper wirkt, indem wir beachten, daß Polari-
sationsstrom und Leitungsstrom in bezug auf elektrodynamische
Wirkung vom Standpunkt der Elektronentheorie durchaus äqui-
valent sein müssen.

Durch Berücksichtigung der Dualität von magnetischen
und elektrischen Erscheinungen erhält man auch noch die
Kraft, welche auf einen von einem magnetischen Polarisations-
strom durchsetzten Körper im elektrischen Felde ausgeübt wird.
Als Gesamtausdruck für diejenigen Kräfte, welche von der Ge-
schwindigkeit der Elementarteilchen abhängen, erhalten wir
auf diese Weise die Gleichungen:

(11)

Addiert man die Gleichungen (6), (7) und (11), so erhält
man den Gesamtausdruck für die X-Komponente der pro Vo-
lumeneinheit auf die Materie wirkenden ponderomotorischen
Kraft in der Form:

Die Gleichung kann man auch schreiben:

Ersetzt man

mittels der Maxwellschen Gleichungen durch curl H bzw.
durch curl G, so erhält man durch eine einfache Umformung:

(12)

wobei gesetzt ist¹):

(13)

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1) Hr. Geheimrat Wien hatte die Güte, uns darauf aufmerksam zu
machen, daß bereits H. A. Lorentz die ponderomotorischen Kräfte für
nicht magnetisierbare Körper in dieser Form angegeben hat. Enzykl.
d. mathem. W. 5. p. 247.

Entsprechende Gleichungen gelten für die beiden anderen
Komponenten der ponderomotorischen Kraft.

Integriert man (12) über den unendlichen Raum, so erhält
man, falls im Unendlichen die Feldvektoren verschwinden, die
Gleichung:

(14)

Sie sagt aus, daß unsere ponderomotorischen Kräfte bei Ein-
führung der elektromagnetischen Bewegungsgröße dem Satz
von der Gleichheit von actio und reactio genügen.

Bern, 7. Mai 1908.