7. Zur Theorie der Brownschen Bewegung;
von A.
Einstein.
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Kurz nach dem Erscheinen meiner Arbeit über die durch
die Molekulartheorie
der Wärme geforderte Bewegung von in
Flüssigkeiten suspendierten Teilchen1)
teilte mir Hr. Sieden-
topf (Jena) mit, daß er und andere Physiker -- zuerst wohl
Hr. Prof. Gouy (Lyon) -- durch direkte Beobachtung zu der
Überzeugung gelangt
seien, daß die sogenannte Brownsche
Bewegung durch die ungeordnete
Wärmebewegung der Flüssig-
keitsmoleküle verursacht sei.2) Nicht nur die
qualitativen Eigen-
schaften der Brownschen Bewegung, sondern auch die Größen-
ordnung der von den Teilchen zurückgelegten Wege entspricht
durchaus den
Resultaten der Theorie. Ich will hier nicht
eine Vergleichung des mir zur
Verfügung stehenden dürftigen
Erfahrungsmaterials mit den Resultaten der
Theorie anstellen,
sondern diese Vergleichung denjenigen überlassen, welche das
Thema experimentell behandeln.
Die nachfolgende Arbeit soll meine oben genannte Arbeit
in einigen
Punkten ergänzen. Wir leiten hier nicht nur die
fortschreitende, sondern auch
die Rotationsbewegung suspen-
dierter Teilchen ab für den einfachsten
Spezialfall, daß die
Teilchen Kugelgestalt besitzen. Wir zeigen ferner bis zu wie
kurzen Beobachtungszeiten das in jener Abhandlung gegebene
Resultat
gilt.
Für die herleitung wollen wir uns hier einer allgemeineren
Methode bedienen,
teils um zu zeigen, wie die Brownsche
Bewegung mit den Grundlagen der
molekularen Theorie der
Wärme zusammenhängt, teils um die Formeln für die
fort-
schreitende und für die rotierende Bewegung durch eine ein-
heitliche
Untersuchung entwickeln zu können. Es sei näm-
lich ein beobachtbarer
Parameter eines im Temperatur-
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1) A. Einstein, Ann. d. Phys. 17. p. 549. 1905.
2) M. Gouy, Journ. de Phys. (2) 7. p. 561. 1888.
gleichgewicht befindlichen physikalischen Systems und es sei
angenommen, daß
das System bei jedem (möglichen) Wert
von im sogenannten indifferenten
Gleichgewicht sich be-
finde. Nach der klassischen Thermodynamik, die zwischen
Wärme und anderen Energiearten prinzipiell unterscheidet,
finden spontane
Änderungen von nicht statt, wohl aber
nach der molekularen Theorie der
Wärme. Wir wollen im
nachfolgenden untersuchen, nach welchen Gesetzen jene
Ände-
rungen gemäß der letzteren Theorie stattfinden müssen. Wir
haben dann
jene Gesetze auf folgende spezialfälle anzuwenden:
1. ist die x-Koordinate des Schwerpunktes eines in einer
(der Schwerkraft
nicht unterworfenen) homogenen Flüssigkeit
suspendierten Teilchens von
Kugelgestalt.
2. ist der Drehwinkel, welcher die Lage eines in einer
Flüssigkeit
suspendierten, um einen Durchmesser drehbaren
Teilchens von Kugelgestalt
bestimmt.
§ 1. Über einen Fall thermodynamischen Gleichgewichtes.
In einer Umgebung von der absoluten Temperatur T be-
finde sich ein
physikalisches System, das mit dieser Umgebung
in thermischer Wechselwirkung
stehe und im Zustand des Tem-
peraturgleichgewichtes sei. Dies System, das also
ebenfalls die
absolute Temperatur T besitzt, sei im Sinne der molekularen
Theorie
der Wärme vollständig bestimmt1) durch die Zustands-
variabeln p
1...pn Als
Zustandsvariable p1...pn können in
den zu behandelnden Spezialfallen die
Koordinaten und Ge-
schwindigkeitskomponenten aller das betrachtete System
bilden-
der Atome gewählt werden.
Es gilt für die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einem zufällig
herausgegriffenen
Zeitpunkt die Zustandsvariabeln p1...pn in
dem n-fach unendlich kleinen Gebiete
(dp1...dpn) liegen, die
Gleichung2):
| (1) |
wobei C eine Konstante, R die universelle Konstante der Gas-
gleichung, N die
Anzahl der wirklichen Moleküle in einem
Grammmolekül und E die Energie
bedeutet.
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1) Vgl. Ann. d. Phys. 17. p. 549. 1905.
2) l. c. § 3 und 4.
Es sei ein beobachtbarer Parameter des Systems und es
entspreche
jedem Wertsystem p1 ...pn ein bestimmter Wert .
Wir bezeichnen mit
Ad die Wahrscheinlichkeit dafür, daß in
einem zufällig herausgegriffenen
Zeitpunkt der Wert des Para-
meters zwischen und + d liege. Es ist
dann
| (2) |
wenn das Integral der rechten Seite über alle Wertkombi-
nationen der
Zustandsvariabeln erstreckt wird, deren -Wert
zwischen und + d
liegt.
Wir beschränken uns auf den Fall, daß aus der Natur
des Problems ohne
weiteres klar ist, daß allen (möglichen)
Werten von dieselbe Wahrscheinlichkeit
(Häufigkeit) zu-
kommt, daß also die Größe A von unabhängig ist.
Es liege nun ein zweites physikalisches System vor, das
sich von dem soeben
betrachteten einzig darin unterscheide,
daß auf das System eine nur von
abhängige Kraft vom
Potential ( ) wirke. Ist E die Energie des vorhin
betrachteten
Systems, so ist E + die Energie des jetzt betrachteten, so
daß wir
die der Gleichung (1) analoge Beziehung erhalten:
Hieraus folgt für die Wahrscheinlichkeit dW dafür, daß in
einem beliebig
herausgegriffenen Zeitpunkt der Wert von
zwischen und + d liegt, die der
Gleichung (2) analoge
Beziehung:
| (I) |
wobei A' von unabhängig ist.
Diese Beziehung, welche dem von Bolzmann in seinen
gastheoretischen
Untersuchungen vielfach benutzten Exponential-
gesetz genau entspricht, ist für
die molekulare Theorie der
Wärme charakteristisch. Sie gibt Aufschluß
darüber, wieviel
sich ein einer konstanten äußeren Kraft unterworfener
Parameter
eines Systems infolge der ungeordneten Molekularbewegung
von dem Werte entfernt, welcher dem stabilen Gleichgewicht
entspricht.
§ 2. Anwendungsbeispiele für die in § 1 abgeleitete Gleichung.
Wir betrachten einen Körper, dessen Schwerpunkt sich
längs einer Geraden
(X-Achse eines Koordinatensystems) be-
wegen kann. Der Körper sei von einem
Gase umgeben und
es herrsche thermisches und mechanisches Gleichgewicht.
Nach
der Molekulartheorie wird sich der Körper infolge der Un-
gleichheit der
Molekularstöße längs der Geraden in unregel-
mäßiger Weise hin und
her bewegen, derart, daß bei dieser
Bewegung kein Punkt der Geraden
bevorzugt ist -- voraus-
gesetzt, daß auf den Körper in Richtung der
Geraden keine
anderen Kräfte wirken als die Stoßkräfte der Moleküle.
Die
Abszisse x des Schwerpunktes ist also ein Parameter des
Systems,
welcher die oben für den Parameter voraus-
gesetzten Eigenschaften
besitzt.
Wir wollen nun eine auf den Körper in Richtung der
Geraden wirkende Kraft
K = -M x einführen. Dann wird
der Schwerpunkt des Körpers nach der
Molekulartheorie
ebenfalls ungeordnete Bewegungen ausführen, ohne sich jedoch
viel vom Punkte x = 0 zu entfernen, während er nach der
klassischen
Thermodynamik im Punkte x = 0 ruhen müßte.
Nach der Molekulartheorie ist
(Formel I)
gleich der Wahrscheinlichkeit dafür, daß in einem zufällig ge-
gewählten Zeitpunkt
der Wert der Abszisse x zwischen x und
x + dx liegt. Hieraus findet man den
mittleren Abstand des
Schwerpunktes vom Punkte x = 0:
Damit genügend groß sei, um der Beobachtung zu-
gänglich zu sein, muß
die die Gleichgewichtslage des Körpers
bestimmende Kraft sehr klein sein. Setzen wir als untere
Grenze des Beobachtbaren
= 10-4 cm, so erhalten wir
für T = 300 M = ca. 5 . 10-6. Damit der Körper
mit dem
Mikroskop beobachtbare Schwankungen ausführe, darf also die
auf ihn
wirkende Kraft bei einer Elongation von 1 cm nicht
mehr als 5 milliontel Dyn
betragen.
Wir wollen noch eine theoretische Bemerkung an die ab-
geleitete Gleichung
anknüpfen. Der betrachtete Körper trage
eine über einen sehr kleinen Raum
verteilte elektrische Ladung
und es sei das den Körper umgebende Gas so
verdünnt, daß
der Körper eine durch das umgebende Gas nur schwach modi-
fizierte Sinusschwingung ausführe. Der Körper strahlt dann
elektrische Wellen in
den Raum aus und empfängt Energie
aus der Strahlung des umliegenden Raumes;
er vermittelt also
einen Energieaustausch zwischen Strahlung und Gas. Wir ge-
langen zu einer Ableitung des Grenzgesetzes der Temperatur-
strahlung, welches
für große Wellenlängen und für hohe
Temperaturen zu gelten scheint, indem wir
die Bedingung
dafür aufstellen, daß der betrachtete Körper im Durchschnitt
ebensoviel Strahlung emittiert als absorbiert. Man gelangt
so1) zu der folgenden
Formel für die der Schwingungszahl
entsprechende Strahlungsdichte
:
wobei L die Lichtgeschwindigkeit bedeutet.
Die von Hrn. Planck gegebene Strahlungsformel2) geht
für kleine Periodenzahlen
und hohe Temperaturen in diese
Formel über. Aus dem Koeffizienten des
Grenzgesetzes läßt
sich die Größe N bestimmen, und man erhält so die
Planck-
sche Bestimmung der Elementarquanta. Die Tatsache, daß man
auf dem angedeuteten Wege nicht zu dem wahren Gesetz der
Strahlung,
sondern nur zu einem Grenzgesetz gelangt, scheint
mir in einer elementaren
Unvollkommenheit unserer physi-
kalischen Anschauungen ihren Grund zu
haben.
Wir wollen nun die Formel (I) noch dazu verwenden, zu
entscheiden, wie klein
ein suspendiertes Teilchen sein muß,
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1) Vgl. Ann. d. Phys. 17. p. 549. 1905. § 1 und 2.
2) M. Planck, Ann. d. Phys. 1. p. 99. 1900.
damit es trotz der Wirkung der Schwere dauernd suspendiert
bleibe. Wir können
uns dabei auf den Fall beschränken, daß
das Teilchen spezifisch schwerer
ist als die Flüssigkeit, da der
entgegengesetzte Fall vollkommen analog
ist.
Ist v das Volumen des Teilchens, dessen Dichte, 0 die
Dichte der Flüssigkeit,
g die Beschleunigung der Schwere und
x der vertikale Abstand eines Punktes vom
Boden des Ge-
fäßes, so ergibt Gleichung (I)
Man wird also dann finden, daß suspendierte Teilchen in
einer Flüssigkeit zu
schweben vermögen, wenn für Werte
von x, die nicht wegen ihrer Kleinheit sich
der Beobachtung
entziehen, die Größe
keinen allzu großen Wert besitzt -- vorausgesetzt, daß an den
Gefäßboden
gelangende Teilchen nicht durch irgendwelche Um-
stände an demselben
festgehalten werden.
§ 3. Über die von der Wärmebewegung verursachten
Veränderungen des
Parameters .
Wir kehren wieder zu dem in § 1 behandelten allgemeinen
Falle zurück, für
den wir Gleichung (I) abgeleitet haben. Der
einfacheren Ausdrucksweise und
Vorstellung halber wollen wir
aber nun annehmen, daß eine sehr große Zahl (n)
identischer
Systeme von der dort charakterisierten Art vorliege; wir haben
es dann
mit Anzahlen statt mit Wahrscheinlichkeiten zu tun.
Gleichung (I) sagt dann
aus:
Von N Systemen liegt bei
| (Ia) |
Systemen der Wert des Parameters in einem zufällig heraus-
gegriffenen
Zeitpunkt zwischen und + d.
Diese Beziehung wollen wir dazu benutzen, die Größe der
durch die
ungeordneten Wärmevorgänge erzeugten unregel-
mäßigen Veränderungen des
Parameters zu ermitteln. Zu
diesem Zweck drücken wir in Zeichen aus, daß die
Funktion F )
sich unter der vereinten Wirkung der dem Potential ent-
sprechenden Kraft und
des ungeordneten Wärmeprozesses sich
innerhalb der Zeitspanne t nicht ändert; t
bedeute hierbei eine
so kleine Zeit, daß die zugehörigen Änderungen der Größen
der einzelnen Systeme als unendlich kleine Argumentänderungen
der Funktion F
() betrachtet werden können.
Trägt man auf einer Geraden von einem bestimmten Null-
punkte aus den
Größen numerisch gleiche Strecken ab, so
entspricht jedem System ein Punkt
() auf dieser Geraden.
F() ist die Lagerungsdichte der Systempunkte () auf
der
Geraden. Durch einen beliebigen Punkt (0) der Geraden
müssen
nun während der Zeit t genau soviele Systempunkte
in dem einen Sinne
hindurchwandern, wie in dem anderen
Sinne.
Die dem Potential entsprechende Kraft bewirke eine
Änderung von von
der Größe
wobei B von unabhängig sei, d. h. die Änderungsgeschwindig-
keit von sei
proportional der wirkenden Kraft und unabhängig
vom Werte des Parameters.
Den Faktor B nennen wir die
,,Beweglichkeit des Systems in bezug auf
“.
Würde also die äußere Kraft wirken, ohne daß der un-
regelmäßige molekulare
Wärmeprozeß die Größen änderte,
so gingen durch den Punkt (0) während der
Zeit t
Systempunkte nach der negativen Seite hindurch.
Es sei ferner die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Para-
meter eines
Systems infolge des ungeordneten Wärmeprozesses
innerhalb der Zeit t
eine Änderung erfahre, deren Wert zwischen
und + d liegt, gleich
(), wobei () = (-) und
von unabhängig sei. Die Anzahl der
infolge des ungeord-
neten Wärmeprozesses durch den Punkt (0) während
der
Zeit t nach der positiven Seite hin wandernden Systempunkte
ist
dann:
wenn
gesetzt wird. Die Anzahl der nach der negativen Seite infolge
des ungeordneten
Wärmeprozesses wandernden Systempunkte ist:
Der mathematische Ausdruck für die Unveränderlichkeit
der Funktion F ist
also:
Setzt man die für n1, n2, n3 gefundenen Ausdrücke ein und
berücksichtigt, daß
unendlich klein ist bez. daß () nur
für unendlich kleine Werte von von 0
verschieden ist, so
erhält man hieraus nach einfacher Rechnung:
Hierbei bedeutet
den Mittelwert der Quadrate der durch den unregelmäßigen
Wärmeprozeß
während der Zeit t hervorgerufenen Änderungen
der Größen Aus dieser
Beziehung erhält man unter Be-
rücksichtigung von Gleichung (Ia):
| (II) |
Hierbei bedeutet R die Konstante der Gasgleichung (8,31.107),
N die Anzahl der
wirklichen Moleküle in einem Grammolekül
(ca. 4. 1023), B die ,,Beweglichkeit des
Systems in bezug auf
den Parameter “, T die absolute Temperatur, t die Zeit,
innerhalb welcher die durch den ungeordneten Wärmeprozeß
hervorgerufenen
Änderungen von stattfinden.
§ 4. Anwendung der abgeleiteten Gleichung auf die
Brownsche Bewegung.
Wir berechnen nun mit Hilfe der Gleichungen (II) zu-
nächst die mittlere
Verschiebung, die ein kugelförmiger, in
einer Flüssigkeit suspendierter Körper während der Zeit t in
einer bestimmten
Richtung (X-Richtung eines Koordinaten-
systems) erleidet. Zu diesem
Zweck haben wir in jene Glei-
chung den entsprechenden Wert für B
einzusetzen.
Wirkt auf eine Kugel vom Radius P, die in einer Flüssig-
keit vom
Reibungskoeffizienten k suspendiert ist, eine Kraft K,
so bewegt sie sich mit der
Geschwindigkeit1) K/6 k P. Es ist
also zu setzen
so daß man -- in Übereinstimmung mit der oben zitierten
Arbeit -- für die
mittlere Verschiebung der suspendierten
Kugel in Richtung der X-Achse den Wert
erhält:
Wir behandeln zweitens den Fall, daß die betrachtete
Kugel in der Flüssigkeit
um einen ihrer Durchmesser (ohne
Lagerreibung) frei drehbar gelagert sei und
fragen nach der
mittleren Drehung der Kugel während der Zeit t infolge
des
ungeordneten Wärmeprozesses.
Wirkt auf eine Kugel vom Radius P, die in einer Flüssig-
keit vom
Reibungskoeffizienten k drehbar gelagert ist, das
Drehmoment D, so dreht sie sich
mit der Winkelgeschwindigkeit1)
Es ist also zu setzen:
Man erhält also:
Die durch die Molekularbewegung erzeugte Drehbewegung
sinkt also mit
wachsendem P viel rascher als die fortschreitende
Bewegung.
Für P = 0, 5 mm und Wasser von 17 0 liefert die Formel
für den im Mittel in
einer Sekunde zurückgelegten Winkel
etwa 11 Bogensekunden, in der Stunde ca.
11 Bogenminuten.
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1) Vgl. G. Kirchhoff. Vorles. über Mechanik. 26. Vorl.
Für P = 0, 5 Mikron und Wasser von 17 0 erhält man für
t = 1 Sekunde ca. 100
Winkelgrade.
Bei einem frei schwebenden suspendierten Teilchen finden
drei voneinander
unabhängige derartige Drehbewegungen statt.
Die für entwickelte Formel ließe sich noch auf andere
Fälle anwenden.
Setzt man z. B. für B den reziproken elek-
trischen Widerstand eines
geschlossenen Stromkreises ein, so
gibt sie an, wieviel Elektrizität im Durchschnitt
während der
Zeit t durch irgend einen Leiterquerschnitt geht, welche Be-
ziehung
abermals mit dem Grenzgesetz der Strahlung des
schwarzen Körpers für
große Wellenlängen und hohe Tem-
peraturen zusammenhängt. Da ich
jedoch keine durch das
Experiment kontrollierbare Konsequenz mehr
habe auffinden
können, scheint mir die Behandlung weiterer Spezialfälle
unnütz.
§ 5. Über die Gültigkeitsgrenze der Formel für.
Es ist klar, daß die Formel (II) nicht für beliebig kleine
Zeiten gültig
sein kann. Die mittlere Veränderungsgeschwindig-
keit von infolge des
Wärmeprozesses
wird nämlich für unendlich kleine Zeitdauer t unendlich groß,
was offenbar
unmöglich ist, denn es müßte sich ja sonst jeder
suspendierte Körper mit
unendlich großer Momentangeschwindig-
keit bewegen. Der Grund liegt daran,
daß wir in unserer
Entwickelung implizite angenommen haben, daß der Vorgang
während der Zeit t als von dem Vorgange in den unmittelbar
vorangehenden
Zeiten unabhängiges Ereignis aufzufassen sei.
Diese Annahme trifft aber um so
weniger zu, je kleiner die
Zeiten t gewählt werden. Wäre nämlich zur Zeit
z = 0
der Momentanwert der Änderungsgeschwindigkeit, und würde
die
Änderungsgeschwindigkeit in einem gewissen darauf
folgenden Zeitintervall
durch den ungeordneten thermischen
Prozeß nicht beeinflußt, sondern die
Änderung von lediglich
durch den passiven Widerstand (1/B) bestimmt, so würde
für d /dz die
Beziehung gelten:
ist hierbei durch die Festsetzung definiert, daß (2/2) die
der
Änderungsgeschwindigkeit entsprechende Energie sein
soll. In dem Falle der
Translationsbewegung der suspendierten
Kugel wäre also z. B. (2 /2) die
kinetische Energie der Kugel
samt der kinetischen Energie der mitbewegten
Flüssigkeit.
Durch Integration folgt:
Aus diesem Resultat folgert man, daß die Formel (II) nur
für Zeitintervalle
gilt, welche groß sind gegen B.
Für Körperchen von 1 Mikron Durchmesser und von der
Dichte = 1 in
Wasser von Zimmertemperatur ist die untere
Grenze der Gültigkeit der
Formel (II) ca. 10-7 Sekunden;
diese untere Grenze für die Zeitintervalle
wächst proportional
dem Quadrat des Radius des Körperchens. Beides
gilt sowohl
für die fortschreitende wie für die Rotationsbewegung der
Teilchen.
Bern, Dezember 1905.
(Eingegangen 19. Dezember 1905.)
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