haben wir zu überlegen, wie derartige allgemein kovariante Gleichungen gewonnen werden können. Dieser rein mathe- matischen Aufgabe wenden wir uns jetzt zu; es wird sich dabei zeigen, daß bei deren Lösung die in Gleichung (3) an- gegebene Invariante ds eine fundamentale Rolle spielt, welche wir in Anlehnung an die Gausssche Flächentheorie als ,,Linien- element“ bezeichnet haben.

Der Grundgedanke dieser allgemeinen Kovariantentheorie ist folgender. Es seien gewisse Dinge (,,Tensoren“) mit Bezug auf jedes Koordinatensystem definiert durch eine Anzahl Raumfunktionen, welche die ,,Komponenten“ des Tensors genannt werden. Es gibt dann gewisse Regeln, nach welchen diese Komponenten für ein neues Koordinatensystem be- rechnet werden, wenn sie für das ursprüngliche System be- kannt sind, und wenn die beide Systeme verknüpfende Trans- formation bekannt ist. Die nachher als Tensoren bezeichneten Dinge sind ferner dadurch gekennzeichnet, daß die Trans- formationsgleichungen für ihre Komponenten linear und homo- gen sind. Demnach verschwinden sämtliche Komponenten im neuen System, wenn sie im ursprünglichen System sämtlich verschwinden. Wird also ein Naturgesetz durch das Null- setzen aller Komponenten eines Tensors formuliert, so ist es allgemein kovariant; indem wir die Bildungsgesetze der Ten- soren untersuchen, erlangen wir die Mittel zur Aufstellung all- gemein kovarianter Gesetze.

§ 5. Kontravarianter und kovarianter Vierervektor.

Kontravarianter Vierervektor. Das Linienelement ist defi- niert durch die vier ,,Komponenten“ dx , deren Trans- formationsgesetz durch die Gleichung

ausgedrückt wird. Die dx ' drücken sich linear und homogen durch die dx aus; wir können diese Koordinatendifferentiale dx daher als die Komponenten eines ,,Tensors“ ansehen, den wir speziell als kontravarianten Vierervektor bezeichnen. Jedes Ding, was bezüglich des Koordinatensystems durch vier Größen A definiert ist, die sich nach demselben Gesetz