transformieren, bezeichnen wir ebenfalls als kontravarianten Vierervektor. Aus (5a) folgt sogleich, daß die Summen ebenfalls Komponenten eines Vierervektors sind, wenn A und B es sind. Entsprechendes gilt für alle später als ,,Tensoren“ einzuführenden Systeme (Regel von der Addition und Sub- traktion der Tensoren).

Kovarianter Vierervektor. Vier Größen A nennen wir die Komponenten eines kovarianten Vierervektors, wenn für jede beliebige Wahl des kontravarianten Vierervektors B

Aus dieser Definition folgt das Transformationsgesetz des kovarianten Vierervektors. Ersetzt man nämlich auf der rechten Seite der Gleichung

B durch den aus der Umkehrung der Gleichung (5a) folgenden Ausdruck

so erhält man

Hieraus folgt aber, weil in dieser Gleichung die B ' unabhängig voneinander frei wählbar sind, das Transformationsgesetz

Bemerkungzur Vereinfachung der Schreibweise der Ausdr ücke.

Ein Blick auf die Gleichungen dieses Paragraphen zeigt, daß über Indizes, die zweimal unter einem Summenzeichen auftreten [z. B. der Index in (5)], stets summiert wird, und zwar nur über zweimal auftretende Indizes. Es ist des- halb möglich, ohne die Klarheit zu beeinträchtigen, die Summenzeichen wegzulassen. Dafür führen wir die Vorschrift ein: Tritt ein Index in einem Term eines Ausdruckes zweimal auf, so ist über ihn stets zu summieren, wenn nicht ausdrück- lich das Gegenteil bemerkt ist.

Der Unterschied zwischen dem kovarianten und kontra- varianten Vierervektor liegt in dem Transformationsgesetz