Durch dieses Transformationsgesetz wird der kovariante Tensor zweiten Ranges definiert. Alle Bemerkungen, welche vorher über die kontravarianten Tensoren gemacht wurden, gelten auch für die kovarianten Tensoren.

Bemerkung. Es ist bequem, den Skalar (Invariante) so- wohl als kontravarianten wie als kovarianten Tensor vom Range Null zu behandeln.

Gemischter Tensor. Man kann auch einen Tensor zweiten Ranges vom Typus

definieren, der bezüglich des Index kovariant, bezüglich des Index kontravariant ist. Sein Transformationsgesetz ist

Natürlich gibt es gemischte Tensoren mit beliebig vielen Indizes kovarianten und beliebig vielen Indizes kontravarianten Charakters. Der kovariante und der kontravariante Tensor können als spezielle Fälle des gemischten angesehen werden.

Symmetrische Tensoren. Ein kontravarianter bzw. ko- varianter Tensor zweiten oder höheren Ranges heißt sym- metrisch , wenn zwei Komponenten, die durch Vertauschung irgend zweier Indizes auseinander hervorgehen, gleich sind. Der Tensor A bzw. A ist also symmetrisch, wenn für jede Kombination der Indizes

bzw.

ist.

Es muß bewiesen werden, daß die so definierte Symmetrie eine vom Bezugssystem unabhängige Eigenschaft ist. (Aus (9) folgt in der Tat mit Rücksicht auf (14)

Die vorletzte Gleichsetzung beruht auf der Vertauschung der Summationsindizes und (d. h. auf bloßer Änderung der Bezeichnungsweise).

Antisymmetrische Tensoren. Ein kontravarianter bzw. ko- varianter Tenor zweiten, dritten oder vierten Ranges heißt