antisymmetrisch, wenn zwei Komponenten, die durch Ver- tauschung irgend zweier Indizes auseinander hervorgehen, entgegengesetzt gleich sind. Der Tensor A bzw. A ist also antisymmetrisch, wenn stets

bzw.

ist.

Von den 16 Komponenten A verschwinden die vier Komponenten A ; die übrigen sind paarweise entgegengesetzt gleich, so daß nur 6 numerisch verschiedene Komponenten vorhanden sind (Sechservektor). Ebenso sieht man, daß der antisymmetrische Tensor A (dritten Ranges) nur vier nume- risch verschiedene Komponenten hat, der antisymmetrische Tensor A nur eine einzige. Symmetrische Tensoren höheren als vierten Ranges gibt es in einem Kontinuum von vier Dimen- sionen nicht.

§ 7. Multiplikation der Tensoren.

Äu ere Multiplikation der Tensoren. Man erhält aus den Komponenten eines Tensors vom Range z und eines solchen vom Range z ' die Komponenten eines Tensors vom Range z + z ' , indem man alle Komponenten des ersten mit allen Komponenten des zweiten paarweise multipliziert. So ent- stehen beispielsweise die Tensoren T aus den Tensoren A und B verschiedener Art

Der Beweis des Tensorcharakters der T ergibt sich un- mittelbar aus den Darstellungen (8), (10), (12) oder aus den Transformationsregeln (9), (11), (13). Die Gleichungen (8), (10), (12) sind selbst Beispiele äußerer Multiplikation (von Tensoren ersten Ranges).

,,Verj üngung“ eines gemischten Tensors. Aus jedem ge- mischten Tensor kann ein Tensor von einem um zwei kleineren Range gebildet werden, indem man einen Index kovarianten und einen Index kontravarianten Charakters gleichsetzt und