nach diesem Index summiert (,,Verjüngung“). Man gewinnt so z. B. aus dem gemischten Tensor vierten Ranges A den gemischten Tensor zweiten Ranges

und aus diesem, abermals durch Verjüngung, den Tensor nullten Ranges A = A = A .

Der Beweis dafür, daß das Ergebnis der Verjüngung wirk- lich Tensorcharakter besitzt, ergibt sich entweder aus der Tensordarstellung gemäß der Verallgemeinerung von (12) in Verbindung mit (6) oder aus der Verallgemeinerung von (13).

Innere und gemischte Multiplikation der Tensoren. Diese bestehen in der Kombination der äußeren Multiplikation mit der Verjüngung.

Beispiele. -- Aus dem kovarianten Tensor zweiten Ranges A und dem kontravarianten Tensor ersten Ranges B bilden wir durch äußere Multiplikation den gemischten Tensor

Durch Verjüngung nach den Indizes , entsteht der ko- variante Vierervektor

Diesen bezeichnen wir auch als inneres Produkt der Tensoren A und B . Analog bildet man aus den Tensoren A und B durch äußere Multiplikation und zweimalige Verjüngung das innere Produkt A B . Durch äußere Produktbildung und einmalige Verjüngung erhält man aus A und B den gemischten Tensor zweiten Ranges D = A B . Man kann diese Operation passend als eine gemischte bezeichnen; denn sie ist eine äußere bezüglich der Indizes und , eine innere bezüglich der Indizes und .

Wir beweisen nun einen Satz, der zum Nachweis des Tensorcharakters oft verwendbar ist. Nach dem soeben Dar- gelegten ist A B ein Skalar, wenn A und B Tensoren sind. Wir behaupten aber auch folgendes. Wenn A B für jede Wahl des Tensors B eine Invariante ist, so hat A Tensor- charakter.

Beweis. -- Es ist nach Voraussetzung für eine beliebige Substitution

Nach der Umkehrung von (9) ist aber

Dies, eingesetzt in obige Gleichung, liefert:

Dies kann bei beliebiger Wahl von B ' nur dann erfüllt sein, wenn die Klammer verschwindet, woraus mit Rück- sicht auf (11) die Behauptung folgt.

Dieser Satz gilt entsprechend für Tensoren beliebigen Ranges und Charakters; der Beweis ist stets analog zu führen.

Der Satz läßt sich ebenso beweisen in der Form: Sind B und C beliebige Vektoren, und ist bei jeder Wahl der- selben das innere Produkt

ein Skalar, so ist A ein kovarianter Tensor. Dieser letztere Satz gilt auch dann noch, wenn nur die speziellere Aussage zutrifft, daß bei beliebiger Wahl des Vierervektors B das skalare Produkt

ein Skalar ist, falls man außerdem weiß, daß A der Sym- metriebedingung A = A genügt. Denn auf dem vorhin angegebenen Wege beweist man den Tensorcharakter von , woraus dann wegen der Symmetrieeigenschaft der Tensorcharakter von A selbst folgt. Auch dieser Satz läßt sich leicht verallgemeinern auf den Fall kovarianter und kontravarianter Tensoren beliebigen Ranges.

Endlich folgt aus dem Bewiesenen der ebenfalls auf be- liebige Tensoren zu verallgemeinernde Satz: Wenn die Größen A B bei beliebiger Wahl des Vierervektors B einen Tensor ersten Ranges bilden, so ist A ein Tensor zweiten Ranges. Ist nämlich C ein beliebiger Vierervektor, so ist wegen des Tensorcharakters A B das innere Produkt A C B bei beliebiger Wahl der beiden Vierervektoren C und B ein Skalar, woraus die Behauptung folgt.

§ 8. Einiges über den Fundamentaltensor der g .

Der kovariante Fundamentaltensor. In dem invarianten Ausdruck des Quadrates des Linienelementes

spielt d x die Rolle eines beliebig wählbaren kontravarianten Vektors. Da ferner g = g , so folgt nach den Betrachtungen des letzten Paragraphen hieraus, daß g ein kovarianter Tensor zweiten Ranges ist. Wir nennen ihn ,,Fundamentaltensor“. Im folgenden leiten wir einige Eigenschaften dieses Tensors ab, die zwar jedem Tensor zweiten Ranges eigen sind; aber die besondere Rolle des Fundamentaltensors in unserer Theorie, welche in der Besonderheit der Gravitationswirkungen ihren physikalischen Grund hat, bringt es mit sich, daß die zu ent- wickelnden Relationen nur bei dem Fundamentaltensor für uns von Bedeutung sind.

Der kontravariante Fundamentaltensor. Bildet man in dem Determinantenschema der g zu jedem g die Unterdetermi- nante und dividiert diese durch die Determinante g = der g , so erhält man gewisse Größen g (= g ), von denen wir beweisen wollen, daß sie einen kontravarianten Tensor bilden.

Nach einem bekannten Determinantensatze ist

wobei das Zeichen 1 oder 0 bedeutet, je nachdem = oder ist. Statt des obigen Ausdruckes für d s 2 können wir auch

oder nach (16) auch

schreiben. Nun bilden aber nach den Multiplikationsregeln des vorigen Paragraphen die Größen

einen kovarianten Vierervektor, und zwar (wegen der will- kürlichen Wählbarkeit der d x ) einen beliebig wählbaren Vierervektor. Indem wir ihn in unseren Ausdruck einführen, erhalten wir

Da dies bei beliebiger Wahl des Vektors d ein Skalar ist und g nach seiner Definition in den Indizes und sym- metrisch ist, folgt aus den Ergebnissen des vorigen Para- graphen, daß g ein kontravarianter Tensor ist. Aus (16) folgt noch, daß auch ein Tensor ist, den wir den gemischten Fundamentaltensor nennen können.