daß sich d s 2 immer gemäß (1) durch die reellen Größen d X 1 . d X 4 ausdrücken läßt. Nennen wir d 0 das ,,natür- liche“ Volumelement d X 1 d X 2 d X 3 d X 4 , so ist also

Soll an einer Stelle des vierdimensionalen Kontinuums verschwinden, so bedeutet dies, daß hier einem end- lichen Koordinatenvolumen ein unendlich kleines ,,natürliches“ Volumen entspreche. Dies möge nirgends der Fall sein. Dann kann g sein Vorzeichen nicht ändern; wir werden im Sinne der speziellen Relativitätstheorie annehmen, daß g stets einen endlichen negativen Wert habe. Es ist dies eine Hypothese über die physikalische Natur des betrachteten Kontinuums und gleichzeitig eine Festsetzung über die Koordinatenwahl.

Ist aber - g stets positiv und endlich, so liegt es nahe, die Koordinatenwahl a posteriori so zu treffen, daß diese Größe gleich 1 wird. Wir werden später sehen, daß durch eine solche Beschränkung der Koordinatenwahl eine bedeutende Vereinfachung der Naturgesetze erzielt werden kann. An Stelle von (18) tritt dann einfach

woraus mit Rücksicht auf Jakobis Satz folgt

Bei dieser Koordinatenwahl sind also nur Substitutionen der Koordinaten von der Determinante 1 zulässig.

Es wäre aber irrtümlich, zu glauben, daß dieser Schritt einen partiellen Verzicht auf das allgemeine Relativitäts- postulat bedeute. Wir fragen nicht: ,,Wie heißen die Natur- gesetze, welche gegenüber allen Transformationen von der Determinante 1 kovariant sind?“ Sondern wir fragen: ,,Wie heißen die allgemein kovarianten Naturgesetze?“ Erst nach- dem wir diese aufgestellt haben, vereinfachen wir ihren Aus- druck durch eine besondere Wahl des Bezugssystems.

Bildung neuer Tensoren vermittelst des Fundamentaltensors. Durch innere, äußere und gemischte Multiplikation eines Tensors mit dem Fundamentaltensor entstehen Tensoren anderen Charakters und Ranges.