Hierbei ist nach Christoffel gesetzt

§ 10. Die Bildung von Tensoren durch Differentiation.

Gestützt auf die Gleichung der geodätischen Linie können wir nun leicht die Gesetze ableiten, nach welchen durch Diffe- rentiation aus Tensoren neue Tensoren gebildet werden können. Dadurch werden wir erst in den Stand gesetzt, allgemein ko- variante Differentialgleichungen aufzustellen. Wir erreichen dies Ziel durch wiederholte Anwendung des folgenden ein- fachen Satzes.

Ist in unserem Kontinuum eine Kurve gegeben, deren Punkte durch die Bogendistanz s von einem Fixpunkt auf der Kurve charakterisiert sind, ist ferner eine invariante Raumfunktion, so ist auch d d s eine Invariante. Der Be- weis liegt darin, daß sowohl d als auch ds Invariante sind.

Da

so ist auch

eine Invariante, und zwar für alle Kurven, die von einem Punkte des Kontinuums ausgehen, d. h. für beliebige Wahl des Vektors der d x . Daraus folgt unmittelbar, daß

ein kovarianter Vierervektor ist (Gradient von ).

Nach unserem Satze ist ebenso der auf einer Kurve ge- nommene Differentialquotient

eine Invariante. Durch Einsetzen von erhalten wir zunächst

Hieraus läßt sich zunächst die Existenz eines Tensors nicht ableiten. Setzen wir nun aber fest, daß die Kurve,