Wie bereits bemerkt, läßt sich jeder kovariante Tensor zweiten Ranges darstellen 1 ) als eine Summe von Tensoren vom Typus A B . Es wird deshalb genügen, den Ausdruck der Erweiterung für einen solchen speziellen Tensor abzuleiten. Nach (26) haben die Ausdrücke

Tensorcharakter. Durch äußere Multiplikation des ersten mit B , des zweiten mir A erhält man je einen Tensor dritten Ranges; deren Addition ergibt den Tensor dritten Ranges

wobei A = A B gesetzt ist. Da die rechte Seite von (27) linear und homogen ist bezüglich der A und deren ersten Ableitungen, führt dieses Bildungsgesetz nicht nur bei einem Tensor vom Typus A B , sondern auch bei einer Summe solcher Tensoren, d. h. bei einem beliebigen kovarianten Tensor zweiten Ranges, zu einem Tensor. Wir nennen A die Erweiterung des Tensors A .

Es ist klar, daß (26) und (24) nur spezielle Fälle von (27) sind (Erweiterung des Tensors ersten bzw. nullten Ranges). Überhaupt lassen sich alle speziellen Bildungsgesetze von Tensoren auf (27) in Verbindung mit Tensormultiplikationen auffassen.

§ 11. Einige Spezialf älle von besonderer Bedeutung.

Einige den Fundamentaltensor betreffende Hilfss ätze. Wir leiten zunächst einige im folgenden viel gebrauchte Hilfs-

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1) Durch äußere Multiplikation der Vektoren mit den (beliebig gegebenen) Komponenten A 11 , A 12 , A 13 , A 14 bzw. 1, 0, 0, 0 entsteht ein Tensor mit den Komponenten

Durch Addition von vier Tensoren von diesem Typus erhält man den Tensor A mit beliebig vorgeschriebenen Komponenten.