Wir fassen nun eine (sehr große) Anzahl Z solcher Ele- mente zu einem System zusammen. Zu einem derartigen System gehören bestimmte Summen

(entsprechend den Koeffizienten A n a n , B n a n ). Wir stellen uns die Aufgabe, das statistische Gesetz zu ermitteln, welches eine Kombination dieser Summen befolgt.

Zunächst müssen wir über einen prinzipiellen Punkt Klar- heit schaffen:

Das statistische Gesetz, das die Summen selbst be- folgen, wird gar nicht von der Anzahl Z der Elemente un- abhängig sein. Das können wir leicht an dem einfachen Spezialfall sehen, daß f ( ) nur die Werte +1 und - 1 an- nehmen könne. Dann ist offenbar:

und

Der quadratische Mittelwert der Summe wächst also pro- portional mit der Anzahl der Elemente. Wollen wir also zu einem von Z unabhängigen statistischen Gesetze gelangen, so dürfen wir nicht die betrachten, sondern, da 2 Z kon- stant bleibt, die Größen

§ 3. Statistisches Gesetz der einzelnen S .

Ehe wir nun eine Kombination aller Größen

untersuchen, wollen wir das Wahrscheinlichkeitsgesetz einer einzelnen solchen Größe aufstellen.

Wir betrachten eine Vielheit von N -Systemen der oben definierten Art. Zu jedem System gehört ein Zahlenwert S . Diese Größen befolgen wegen der statistischen Verteilung der ein gewisses Wahrscheinlichkeitsgesetz, so daß die Anzahl der Systeme, deren Zahlenwert zwischen S und S + dS liegt: